Bài tập 9, § 8

Cho K là một trường, L là một mở rộng đại số hữu hạn của K, $v'$ là một định giá trên L, A' là vành của nó, $v$ là hạn chế của $v'$ xuống K và $A = A' \mathbf{A} K$ là vành của nó.

(a) Giả sử rằng A là Hensel (Bài tập 6); hãy chứng minh rằng tích $e(v'/v)f(v'/v)$ chia hết $n = [L:K]$ và thương $n/e(v'/v)f(v'/v)$ là một lũy thừa của số mũ đặc số của trường thặng dư k của v. (Rút gọn về trường hợp L là một mở rộng Galois của K; sử dụng các Bài tập 6 (e) và 7 và Chương V, § 2, Định lý 2 và Mệnh đề 5.)

(b) Giả sử thêm rằng $n$ không chia hết cho số mũ đặc số của trường thặng dư k của v và rằng $f(v'/v) = 1$. Hãy chứng minh rằng, với mọi số nguyên m bằng cấp của một phần tử y của nhóm $\Gamma_{v'}/\Gamma_v$, tồn tại $x \in L$ sao cho lớp của $v'(x)$ mod. $\Gamma_v$ bằng y và $x^m \in K$.