Exercice 9, § 8

Soient $K$ un corps, $L$ une extension algébrique de $K$ de degré fini, $v'$ une valuation sur $L$, $A'$ son anneau, $v$ la restriction de $v'$ à $K$, $A = A' \cap K$ son anneau.

a) On suppose que $A$ est hensélien (exerc. 6); montrer que le produit $e(v'/v)f(v'/v)$ divise $n = [L:K]$ et que le quotient $n/e(v'/v)f(v'/v)$ est une puissance de l’exposant caractéristique du corps résiduel $k$ de $v$. (Se ramener au cas où $L$ est une extension galoisienne de $K$; utiliser les exerc. 6 e) et 7, ainsi que le chap. V, § 2, th. 2 et prop. 5).

b) Supposons en outre que $n$ ne soit pas divisible par l’exposant caractéristique du corps résiduel $k$ de $v$ et que $f(v'/v) = 1$. Montrer que pour tout entier $m$ égal à l’ordre d’un élément $\gamma$ du groupe $\Gamma_{v'}/\Gamma_{v}$, il existe un $x \in L$ tel que la classe de $v'(x) \mod \Gamma_{v}$ soit égale à $\gamma$ et que $x^m \in K$.