Bài tập 11, § 1

Một ước $d$ trong một miền nguyên $A$ được gọi là sinh hữu hạn nếu nó có dạng $\operatorname{div}(a)$, trong đó $a$ là một iđêan phân thức sinh hữu hạn (không nhất thiết là iđêan ước; xem (b)).

(a) Chứng minh rằng, nếu $A$ là một miền Krull, mọi ước của $D(A)$ đều có dạng $\operatorname{div}(a)$, trong đó $a = Ax + Ay$, $x, y$ là các phần tử $\neq 0$ của trường các phân thức của $A$ (sử dụng Hệ quả 2 của Mệnh đề 9 của no. 5).

(b) Cho $K$ là một trường, $A = K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$ là vành các đa thức trên $K$ với một tập hợp đếm được các bất định, là một vành Krull (Bài tập 8). Cho $A'$ là vành con của $A$ được sinh bởi phần tử khả nghịch và các đơn thức $X_i X_j$ với mọi cặp $(i, j)$ (tương đương, $A'$ là tập hợp các đa thức mà mọi số hạng của chúng đều có bậc chẵn). Nếu $L$ và $L'$ là các trường các phân thức của $A$ và $A'$, chứng minh rằng $A' = A \cap L'$, do đó $A'$ là một vành Krull. Cho $p$ là iđêan trong $A'$ được sinh bởi các tích $X_i X_j$ với mọi $i \geq 0$; chứng minh rằng $p$ là một iđêan nguyên tố có chiều cao 1 (do đó là ước) nhưng nó không sinh hữu hạn.