Exercice 11, § 1

On dit que dans un anneau intègre A, un diviseur $d$ est de type fini s’il est de la forme $\operatorname{div}(a)$, où $a$ est un idéal fractionnaire de type fini (non nécessairement divisoriel ; cf. b)).

a) Montrer que si A est un anneau de Krull, tout diviseur de D(A) est de la forme $\operatorname{div}(a)$, où $a = Ax + Ay$, x, y étant des éléments $\neq 0$ du corps des fractions de A (utiliser le cor. 2 de la prop. 9 du n° 5).

*b) Soient K un corps, $A = K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$ l’anneau de polynômes sur K à une infinité dénombrable d’indéterminées, qui est un anneau de Krull (exerc. 8). Soit $A'$ le sous-anneau de A engendré par l’élément unité et les monômes $X_i X_j$ pour tous les couples $(i, j)$ (ensemble des polynômes dont tous les termes sont de degré total pair). Si L et L’ sont les corps des fractions de A et A’, montrer que $A' = A \cap L'$, et par suite que $A'$ est un anneau de Krull. Soit $p$ l’idéal de l’anneau $A'$ engendré par les produits $X_0 X_i$ pour tout $i \geq 0$; montrer que $p$ est un idéal premier de hauteur 1 (donc divisoriel), mais qu’il n’est pas de type fini.