Bài tập 13, § 1

Cho $A$ là một miền nguyên và $(p_i)_{i \in I}$ là một họ các phần tử khác không sao cho các iđêan chính $Ap_i$ là nguyên tố; gọi $S$ là tập con nhân, sinh bởi các $p_i$.

(a) Chứng minh rằng $A = S^{-1}A \cap (\bigcap_i A_{Ap_i})$.

(b) Giả sử rằng mọi họ khác rỗng các iđêan chính của $A$ đều có một phần tử cực đại. Chứng minh rằng mỗi vành $A_{Ap_i}$ là một vành định giá rời rạc (xem Chương VI, § 3, no. 5, Mệnh đề 9). Suy ra rằng, nếu $S^{-1}A$ là nguyên đóng (tương ứng, hoàn toàn nguyên đóng), thì $A$ là nguyên đóng (tương ứng, hoàn toàn nguyên đóng). Nếu $S^{-1}A$ là một miền Krull, chứng minh rằng $A$ là một miền Krull.