Exercice 13, § 1

Soient $A$ un anneau intègre, $(p_i)_{i \in I}$ une famille d’éléments non nuls tels que les idéaux principaux $Ap_i$ soient premiers; soit $S$ la partie multiplicative engendrée par les $p_i$.

a) Montrer que l’on a $A = S^{-1}A \cap \left( \bigcap_i A_{Ap_i} \right)$.

b) On suppose que toute famille non vide d’idéaux principaux de $A$ possède un élément maximal. Montrer que chacun des anneaux $A_{Ap_i}$ est un anneau de valuation discrète (cf. chap. VI, § 3, n° 5, prop. 9). En déduire que si $S^{-1}A$ est intégralement clos (resp. complètement intégralement clos), $A$ est intégralement clos (resp. complètement intégralement clos). Si $S^{-1}A$ est un anneau de Krull, montrer que $A$ est un anneau de Krull.