Bài tập 15, § 1

(a) Cho A là một miền nguyên và $a, b$ là hai phần tử $\neq 0$ của A sao cho $Aa \cap Ab = Aab$. Chứng minh rằng trong vành đa thức $A[X]$, iđêan chính sinh bởi $aX + b$ là nguyên tố (chứng minh rằng mọi đa thức $f(X) \in A[X]$ sao cho $f(-b/a) = 0$ là một bội của $aX + b$, bằng cách dùng quy nạp theo bậc của $f$).

(b) Cho A là một miền Krull và $a, b$ là hai phần tử của A sao cho Aa và Aa + Ab là nguyên tố và phân biệt. Chứng minh rằng $A[X]/(aX + b)$ là một miền Krull và rằng $C(A[X]/(aX + b))$ là đẳng cấu với $C(A)$. (Chú ý, với sự trợ giúp của (a), rằng $A[X]/(aX + b)$ là đẳng cấu với $A[b/a] = B$; chứng minh rằng $Ba$ là nguyên tố trong B. Nhận xét rằng $A[a^{-1}] = B[a^{-1}]$ là một miền Krull và sử dụng Bài tập 12.)

(c) Cho A là một miền Noether nguyên đóng và $a, b$ là hai phần tử của căn Jacobson r của A. Giả sử rằng iđêan Aa + Ab là một iđêan nguyên tố không chia được; chứng minh rằng Aa và Ab là các iđêan nguyên tố. (Trước hết chứng minh rằng $Aa \cap Ab = Aab$ bằng cách xét các iđêan của $Ass(A/Aa)$. Thứ hai chứng minh rằng các hệ thức $xy \in Ab$ và $y \notin Aa + Ab$ kéo theo $x \in Ab + Aa^h$ với mọi $h$, bằng quy nạp theo $h$; suy ra khi đó $x \in Ab$. Cuối cùng, suy ra rằng, nếu $xy \in Ab, x \notin Ab, y \notin Ab$, thì tất yếu $x \in Ab + Aa^h$ và $y \in Ab + Aa^h$ với mọi $h$, bằng cách dùng quy nạp theo h; suy ra một mâu thuẫn.)