Exercice 15, § 1

a) Soient $A$ un anneau intègre, $a, b$ deux éléments $\neq 0$ de $A$ tels que $Aa \cap Ab = Aab$. Montrer que, dans l’anneau de polynômes $A[X]$, l’idéal principal engendré par $aX + b$ est premier (prouver que tout polynôme $f(X) \in A[X]$, tel que $f(-b/a) = 0$, est multiple de $aX + b$, en procédant par récurrence sur le degré de $f$).

b) Soient $A$ un anneau de Krull, $a, b$ deux éléments de $A$ tels que $Aa$ et $Aa + Ab$ soient premiers et distincts. Montrer que $A[X]/(aX + b)$ est un anneau de Krull, et que $C(A[X]/(aX + b))$ est isomorphe à $C(A)$. (Remarquer, à l’aide de $a$, que $A[X]/(aX + b)$ est isomorphe à $A[b/a] = B$; montrer que $Ba$ est premier dans $B$. Observer que $A[a^{-1}] = B[a^{-1}]$ est un anneau de Krull et utiliser l’exerc. 12).

c) Soient $A$ un anneau noethérien intégralement clos, $a, b$ deux éléments du radical $r$ de $A$. On suppose que l’idéal $Aa + Ab$ est un idéal premier non divisoriel; montrer que $Aa$ et $Ab$ sont des idéaux premiers. (Prouver d’abord que $Aa \cap Ab = Aab$ en considérant les idéaux de $\operatorname{Ass}(A/Aa)$. Montrer en second lieu que les relations $xy \in Ab$ et $y \notin Aa + Ab$ entraînent $x \in Ab + Aa^h$ pour tout $h$, par récurrence sur h ; en déduire que l’on a alors x ∈ Ab. Enfin, en déduire que si xy ∈ Ab, x ∉ Ab, y ∉ Ab, on a nécessairement x ∈ Ab + Aa^h et y ∈ Ab + Aa^h pour tout h, en procédant par récurrence sur h : en déduire une contradiction).