Bài tập 16, § 1

Cho $A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A_n$ là một miền Krull phân bậc. Ký hiệu $D_g(A)$ (tương ứng $F_g(A)$) là nhóm sinh bởi các ước của các iđêan nguyên chia phân bậc (tương ứng bởi các ước $\operatorname{div}(a)$, trong đó $a$ là thuần nhất trong A); viết $C_g(A) = D_g(A)/F_g(A)$. Gọi S là tập con nhân của các phần tử thuần nhất $\neq 0$ của A.

(a) Chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố của A có chiều cao 1 giao với S đều là phân bậc (sử dụng Chương III, § 1, no. 4, Mệnh đề 5).

(b) Cho $B = S^{-1}A$, là một vành phân bậc (Chương II, § 2, no. 9); viết $B = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} B_n$; chứng minh rằng $B_0$ là một trường và rằng, nếu $A \neq A_n$, B đẳng cấu với vành $B_0[X, X^{-1}]$ của các hàm hữu tỉ $P(X)/X^k$, trong đó $P(X) \in B_0[X]$.

(c) Chứng minh rằng $C_g(A)$ và $C(A)$ đẳng cấu một cách chính tắc (sử dụng (a), (b) và phương trình (5) của no. 10).