Exercice 16, § 1

Soit A = $\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A_n$ un anneau de Krull gradué. On désigne par D_g(A) (resp. F_g(A)) le groupe engendré par les diviseurs des idéaux divisoriels entiers gradués (resp. par les diviseurs div(a), où a est homogène dans A); posons C_g(A) = D_g(A)/F_g(A). Soit S l’ensemble multiplicatif des éléments homogènes ≠ 0 de A.

a) Montrer que tout idéal premier de hauteur 1 de A qui rencontre S est gradué (utiliser le chap. III, § 1, n° 4, prop. 5).

b) Soit B = S^{-1}A, qui est un anneau gradué (chap. II, § 2, n° 9); posons B = $\bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} B_n$; montrer que B_0 est un corps, et que si A ≠ A_0, B est isomorphe à l’anneau B_0[X, X^{-1}] des fractions rationnelles P(X)/X^k, où P(X) ∈ B_0[X].

c) Montrer que C_g(A) et C(A) sont canoniquement isomorphes (utiliser a), b) et la formule (5) du n° 10).