Bài tập 18, § 1

Cho $A = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} A_n$ là một miền Krull phân bậc với các bậc dương, sao cho $A_0$ là một trường và $m = \bigoplus_{n \gg 1} A_n$ là một iđêan cực đại của A. Cho S là tập hợp nhân các phần tử thuần nhất $\neq 0$ của A, sao cho vành $S^{-1}A$ là một miền iđêan chính (Bài tập 16 (b)). (a) Cho $p$ là một iđêan nguyên tố của A có chiều cao 1 gặp $A - m$; khi đó $p$ không phân bậc (nếu không thì $p = A$) và iđêan $S^{-1}p$ của $S^{-1}A$ là chính, sinh bởi một phần tử có dạng $x = 1 + x_1 + \ldots + x_r$, trong đó $x_j \in (S^{-1}A)_j$. Viết một phần tử của p có dạng $1 + a_1 + \ldots + a_r$, ($a_i \in A_i$) như một bội của $x$ trong $S^{-1}A$ và sử dụng Chương V, § 1, no. 3, Mệnh đề 11, chứng minh rằng $x \in p$; cuối cùng viết mọi phần tử của p như một bội của $x$ trong $S^{-1}A$, chứng minh rằng $p = Ax$. (b) Suy ra từ (a) rằng $C(A)$ và $C(A_m)$ là đẳng cấu chính tắc (sử dụng Mệnh đề 17 của no. 10).