Exercice 18, § 1

Soit A = $\bigoplus_{n \in \mathbf{N}} A_n$ un anneau de Krull gradué à degrés positifs, tel que A_0 soit un corps, et soit m = $\bigoplus_{n > 1} A_n$, idéal maximal de A. Soit S l’ensemble multiplicatif des éléments homogènes ≠ 0 de A, de sorte que l’anneau S^{-1}A est principal (exerc. 16 b)).

a) Soit p un idéal premier de hauteur 1 de A qui rencontre A − m ; alors p n’est pas gradué (sans quoi on aurait p = A), l’idéal S^{-1}p de S^{-1}A est principal, engendré par un élément de la forme x = 1 + x_1 + ⋯ + x_n avec x_j ∈ (S^{-1}A)_j. En écrivant qu’un élément de p de la forme 1 + a_1 + ⋯ + a_q (a_i ∈ A_i) est multiple de x dans S^{-1}A et en utilisant le chap. V, § 1, n° 3, prop. 11, montrer que l’on a x ∈ p; en écrivant enfin que tout élément de p est multiple de x dans S^{-1}A, montrer que p = Ax.

b) Déduire de a) que C(A) et C(A_m) sont canoniquement isomorphes (utiliser la prop. 17 du n° 10).