Bài tập 20, § 1

Một miền nguyên A được gọi là Bezout (hay một miền Bezout) nếu mọi iđêan sinh hữu hạn của A là chính. Mọi miền Noether Bezout đều là một miền iđêan chính. Mọi vành định giá đều là một miền Bezout (và do đó một miền Bezout không nhất thiết là Noether cũng như không nhất thiết đóng nguyên hoàn toàn). (a) Chứng minh rằng mọi miền Bezout đều đóng nguyên (xem Bài tập 6). Nếu một miền nguyên là hợp của một họ có hướng phải các miền con Bezout, thì nó là Bezout. Nếu A là một miền Bezout, thì $S^{-1}A$ cũng là như vậy với mọi tập con nhân S của A sao cho $0 \notin S$. (b) Cho $v_i$ ($1 \leq i \leq n$) là các định giá độc lập trên một trường K và $A_i$ là vành của định giá $v_i$. Chứng minh rằng giao A của các $A_i$ là một miền Bezout. (Nếu một iđêan a của A là sinh hữu hạn, tập hợp của $v_i(x)$ với $x \in a$ nhận một phần tử nhỏ nhất $a_i$ trong nhóm giá trị của $v_i$; với mọi i, lấy $x_i \in a$ sao cho $v_i(x_i) = a_i$. Sử dụng Định lý xấp xỉ (Chương VI, § 7, no. 2, Định lý 1), chứng minh rằng có các phần tử $a_i \in A$ sao cho $x = \sum_{i=1}^n a_i x_i \in a$ thỏa mãn các hệ thức $v_i(x) = a_i$ với $1 \leq i \leq n$) Nếu các $v_i$ là các định giá rời rạc, A là một miền iđêan chính. (c) Cho K là một trường đóng đại số có đặc số $\neq 2$ và cho A là vành con của một bao đóng đại số của $K(X)$ sinh bởi $K$ và hai dãy phần tử $(x_n), (1/x_n)$ ($1 \leq n < +\infty$), trong đó $x_1 = X$ và $x_{n-1} = x_n^2$. Chứng minh rằng $A$ là Bezout (sử dụng (a)). Nếu $\mathfrak{p}$ là một iđêan nguyên tố $\neq 0$ của $A$, chứng minh rằng $\mathfrak{p}$ được sinh bởi một dãy các phần tử có dạng $x, -a$, trong đó $a, \in K$, $a, \neq 0$ và $a_n^2 = a_{n-1}$ (xét với mọi $n$ giao $\mathfrak{p} \cap K[x_n, 1/x_n]$). Chứng minh rằng $\mathfrak{p}$ không sinh hữu hạn.