Exercice 20, § 1

On dit qu’un anneau intègre A est bezoutien (ou anneau de Bezout), si tout idéal de type fini de A est principal. Tout anneau noethérien et bezoutien est principal. Tout anneau de valuation est bezoutien (et par suite un anneau bezoutien n’est pas nécessairement noethérien ni complètement intégralement clos).

a) Montrer que tout anneau bezoutien est intégralement clos (cf. exerc. 6). Si un anneau intègre est réunion d’une famille filtrante croissante de sous-anneaux bezoutiens, il est bezoutien. Si A est un anneau bezoutien, il en est de même de S^{-1}A pour toute partie multiplicative S de A telle que 0 \notin S.

b) Soient v_i (1 \leq i \leq n) des valuations indépendantes sur un corps K, A_i l’anneau de la valuation v_i. Montrer que l’intersection A des A_i est un anneau bezoutien. (Si un idéal a de A est de type fini, l’ensemble des v_i(x) pour x \in a admet un plus petit élément \alpha_i dans le groupe des valeurs de v_i ; pour tout i, soit x_i \in a tel que v_i(x_i) = \alpha_i. En utilisant le th. d’approximation (chap. VI, § 7, n° 2, th. 1), montrer qu’il y a des éléments a_i \in A tels que x = \sum_{i=1}^n a_i x_i \in a vérifie les relations v_i(x) = \alpha_i pour 1 \leq i \leq n).

Si les v_i sont des valuations discrètes, A est principal.

c) Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique \neq 2, et soit A le sous-anneau d’une clôture algébrique de K(X), engendré par K et par deux suites d’éléments (x_n), (1/x_n) (1 \leq n < +\infty), où x_1 = X et x_{n-1} = x_n^2. Montrer que A est bezoutien (utiliser a)). Si p est un idéal premier \neq 0 de A, montrer que p est engendré par une suite d’éléments de la forme x_n - a_n, avec a_n \in K, a_n \neq 0 et a_n^2 = a_{n-1} (considérer pour tout n l’intersection p \cap K[x_n, 1/x_n]). Montrer que p n’est pas de type fini.