Bài tập 22, § 1

(a) Cho $\Gamma'$ là một nhóm cộng có thứ tự dạng dàn và $A$ là đại số của $\Gamma$ trên một trường $k$; $A$ là một miền nguyên (Đại số, Chương II, § 11, no. 4, Mệnh đề 8). Mọi phần tử $x \neq 0$ trong $A$ có thể được viết duy nhất dưới dạng

trong đó các $v_i$ là các phần tử phân biệt của $\Gamma$, các $e^{v_i}$ là các phần tử tương ứng của cơ sở chính tắc của $A$ trên $k$ và các $a_i$ là các phần tử $\neq 0$ của $k$. Viết $\phi(x) = \inf(v_1, \ldots, v_n)$ trong $\Gamma$; hãy chứng minh rằng $\phi(x+y) \geq \inf(\phi(x), \phi(y))$ nếu $x, y$ và $x+y$ là $\neq 0$ trong $A$ và $\phi(xy) = \phi(x) + \phi(y)$ nếu $xy \neq 0$ trong $A$. (Để chứng minh mệnh đề thứ hai, trước hết hãy thiết lập bổ đề sau: cho một họ hữu hạn $(\xi_j)$ các phần tử của $\Gamma$, để có $\inf(\xi_j) = 0$, điều kiện cần và đủ là với mọi $\eta > 0$ trong $\Gamma'$ tồn tại một chỉ số $j$ và một phần tử $\zeta \in \Gamma$ sao cho $0 < \zeta \leq \eta$ và $\inf(\xi_j, \zeta) = 0$. Áp dụng bổ đề này bằng cách quy về trường hợp $\phi(x) = \phi(y) = 0$.)

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu $K$ là trường các phân thức của $A$, $\phi$ có thể được mở rộng thành một đồng cấu từ $K^*$ vào $\Gamma$ (cũng được ký hiệu là $\phi$) sao cho

nếu $x, y$ và $x+y$ là $\neq 0$ trong $K$. Suy ra rằng, nếu $B$ là tập hợp các $x \in K$ sao cho $x = 0$ hoặc $\phi(x) \geq 0$, $B$ là một miền có trường các phân thức là $K$ và sao cho, nếu $U$ là nhóm các phần tử khả nghịch của $B$, $K^*/U$ là đẳng cấu với $\Gamma$ (và đặc biệt $B$ là một miền pseudo-Bezout). Hãy suy ra các ví dụ về một miền pseudo-Bezout không đóng nguyên hoàn toàn, một miền pseudo-Bezout đóng nguyên hoàn toàn nhưng không pseudo-chính (xem

Algebra, Chương VI, § 1, Bài tập 31) \* và một miền pseudo-chính không là miền phân tích nhân tử. \*

(c) Suy ra từ (b) một ví dụ về một miền nguyên là hợp của một họ có hướng phải các miền con nhân tử và đóng nguyên hoàn toàn nhưng không là giả Bezout. (Cho $\theta$ là một số vô tỉ trong $[0, 1]$ và với mọi số nguyên $j$ cho $q_j$ là số nguyên lớn nhất sao cho $q_j / 2^j < 0$. Với mọi $j$ định nghĩa trên nhóm tích $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ một cấu trúc nhóm có thứ tự dàn bằng cách lấy tập hợp $(\mathscr{G}_j)_+$ các phần tử $\geq 0$ của nhóm này là các cặp có thứ tự $(\xi, \eta)$ sao cho $\xi \geq 0$ và $0 \leq \eta \leq (q_j 2^{-j}) \xi$. *)