Exercice 22, § 1

a) Soient \Gamma un groupe additif ordonné réticulé, A l’algèbre de \Gamma sur un corps k ; A est un anneau intègre (Alg., chap. II, 3e éd., § 11, n° 4, prop. 8). Tout élément x \neq 0 dans A s’écrit d’une seule manière

où les v_i sont des éléments deux à deux distincts de \Gamma, les e^{v_i} les éléments correspondants de la base canonique de A sur k, et les \alpha_i des éléments \neq 0 de k. On pose \varphi(x) = \inf(v_1, \ldots, v_n) dans \Gamma : montrer que l’on a \varphi(x + y) \geq \inf(\varphi(x), \varphi(y)) si x, y et x + y sont \neq 0 dans A, et \varphi(xy) = \varphi(x) + \varphi(y) si xy \neq 0 dans A. (Pour démontrer la

EXERCICES

seconde assertion, on établira d’abord le lemme suivant : étant donnée une famille finie $(\xi_j)$ d’éléments de $\Gamma$, pour que $\inf(\xi_j) = 0$, il faut et il suffit que pour tout $\eta > 0$ dans $\Gamma$, il existe un indice $j$ et un élément $\zeta \in \Gamma$ tels que $0 < \zeta \leq \eta$ et $\inf(\xi_j, \zeta) = 0$. On appliquera ce lemme en se ramenant au cas où $\varphi(x) = \varphi(y) = 0$.

b) Déduire de a) que si $\mathbf{K}$ est le corps des fractions de $A$, $\varphi$ se prolonge en un homomorphisme de $\mathbf{K}^*$ dans $\Gamma$ (encore noté $\varphi$), tel que $\varphi(x + y) \geq \inf(\varphi(x), \varphi(y))$ si $x, y$ et $x + y$ sont $\neq 0$ dans $\mathbf{K}$. En déduire que si $B$ est l’ensemble des $x \in \mathbf{K}$ tels que $x = 0$ ou $\varphi(x) \geq 0$, $B$ est un anneau dont le corps des fractions est $\mathbf{K}$ et tel que, si $U$ est le groupe des éléments inversibles de $B$, $\mathbf{K}^*/U$ soit isomorphe à $\Gamma$ (et en particulier $B$ est un anneau pseudo-bezoutien). En déduire des exemples d’un anneau pseudo-bezoutien non complètement intégralement clos, d’un anneau pseudo-bezoutien complètement intégralement clos mais non pseudo-principal (cf. Alg., chap. VI, § 1, exerc. 31), et d’un anneau pseudo-principal non factoriel.

c) Déduire de b) un exemple d’anneau intègre réunion d’une famille filtrante croissante de sous-anneaux factoriels et qui est complètement intégralement clos, mais non pseudo-bezoutien. (Soit $\theta$ un nombre irrationnel dans $(0, 1)$, et pour tout entier $j$, soit $q_j$ le plus grand entier tel que $q_j/2^j < \theta$. Pour tout $j$, définir sur le groupe produit $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ une structure de groupe réticulé en prenant pour ensemble $(G_j)_+$ des éléments $\geq 0$ de ce groupe les couples $(\xi, \eta)$ tels que $\xi \geq 0$ et $0 \leq \eta \leq (q_j 2^{-j})\xi$).