Bài tập 25, § 1

Một miền đóng nguyên $A$ được gọi là có đặc trưng hữu hạn nếu tồn tại một họ $(v_i)_{i \in I}$ các định giá trên trường các phân thức của $A$ thỏa mãn các tính chất (AK$_{\text{II}}$) và (AK$_{\text{III}}$).

(a) Chứng minh rằng, nếu $A$ là đóng nguyên và có đặc trưng hữu hạn, thì với mọi phần tử $x \neq 0$ trong $A$, chỉ có thể có một số hữu hạn các phần tử cực biên của nhóm có thứ tự các ước chính thỏa mãn $\leq \operatorname{div}(x)$. (Gọi $J \subset I$ là tập hợp hữu hạn các chỉ số sao cho $v_i(x) > 0$. Nếu $m$ là số các phần tử của $J$, hãy chứng minh rằng không thể có $m + 1$ phần tử $y_j$ ($1 \leq j \leq m + 1$) chia $x$ và sao cho các phần tử $\operatorname{div}(y_j)$ là cực biên, nhận thấy rằng, với mọi $j$, $\operatorname{div}(y_j)$ phải nguyên tố cùng nhau với $\sum_{k \neq j} \operatorname{div}(y_k)$.)

(b) Chứng minh rằng vành các hàm nguyên của một biến phức (Chương V, § 1, Bài tập 12) là một miền giả chính (Bài tập 21) nhưng không phải là một miền có đặc trưng hữu hạn (dùng (a)). \*