Exercice 25, § 1

On dit qu’un anneau intégralement clos $A$ est de caractère fini s’il existe une famille $(v_i)_{i \in I}$ de valuations du corps des fractions $K$ de $A$ vérifiant les propriétés (AK$_{II}$) et (AK$_{III}$).

a) Montrer que si $A$ est intégralement clos de caractère fini, pour tout élément $x \neq 0$ dans $A$, il ne peut y avoir qu’un nombre fini d’éléments extrémaux du groupe ordonné des diviseurs principaux qui soient $\leq \operatorname{div}(x)$. (Soit $J \subset I$ l’ensemble fini des indices tels que $v_i(x) > 0$. Si $m$ est le nombre d’éléments de $J$, montrer qu’il ne peut y avoir $m + 1$ éléments $y_j$ ($1 \leq j \leq m + 1$) divisant $x$ et tels que les éléments $\operatorname{div}(y_j)$ soient extrémaux, en observant que pour tout $j$, $\operatorname{div}(y_j)$ doit être étranger à $\sum_{k \neq j} \operatorname{div}(y_k)$).

b) Montrer que l’anneau des fonctions entières d’une variable complexe (chap. V, § 1, exerc. 12) est un anneau pseudo-principal (exerc. 21), mais n’est pas un anneau de caractère fini (utiliser $a$). \