Bài tập 28, § 1

Một miền nguyên đóng nguyên A được gọi là có đặc trưng hữu hạn và kiểu hữu tỉ nếu tồn tại một họ $(v_i)_{i \in I}$ các định giá trên trường phân thức K của nó thỏa mãn các tính chất (AK,,) và (AK_{IM}) và các nhóm giá trị của chúng là các nhóm con của nhóm cộng Q. Chứng minh rằng họ các định giá cốt yếu của A có chiều cao 1 thỏa mãn (AK,,) và (AK,). (Với mọi $i \in I$, gọi $p_i$ là iđêan nguyên tố của A gồm các x sao cho $v_i(x) > 0$ và gọi $V_i$ là vành của định giá $v_i$. Chứng minh rằng, nếu có hai chỉ số $\alpha, \beta$ sao cho $p_\beta \subset p_\alpha$, thì A là giao của các $V_i$ có chỉ số $i \neq \alpha$. Để làm điều này, hãy lập luận bằng reductio ad absurdum bằng cách chứng minh rằng nếu không thì sẽ có một phần tử $x \in K^*$, một phần tử $y \in p_\beta$ và hai số nguyên dương $r, s$ sao cho $v_\beta(x^r y^s) > 0$, $v_\alpha(x^r y^s) = 0$ và $v_i(x^r y^s) \geq 0$ với mọi $i \in I$, trái với giả thiết.)