Exercice 28, § 1

On dit qu’un anneau intégralement clos A est de caractère fini et de type rationnel s’il existe une famille (v_i)_{i\in I} de valuations de son corps des fractions K, vérifiant les propriétés (AK_{II}) et (AK_{III}) et dont les groupes des valeurs sont des sous-groupes du groupe additif Q. Montrer que la famille des valuations essentielles de hauteur 1 pour A vérifie (AK_{II}) et (AK_{III}). (Pour tout i \in I, soit p_i l’idéal premier de A formé des x tels que v_i(x) > 0, et soit V_i l’anneau de la valuation v_i. Montrer que s’il y a deux indices \alpha, \beta tels que p_\beta \subset p_\alpha, alors A est l’intersection des V_i d’indice i \neq \alpha. Pour cela, raisonner par l’absurde, en montrant qu’il y aurait un élément x \in K^*, un élément y \in p_\beta et deux entiers positifs r, s tels que v_\beta(x^r y^s) > 0, v_\alpha(x^r y^s) = 0 et v_i(x^r y^s) \geqslant 0 pour tout i \in I, contrairement à l’hypothèse).