Bài tập 5, § 1

Cho $\mathbf{A}$ là một miền nguyên, $K$ là trường các phân thức của nó và $U$ là nhóm con của $K^*$ gồm các phần tử khả nghịch của $\mathbf{A}$; xét nhóm $K^*/U = G$ được sắp thứ tự bởi quan hệ được dẫn xuất bằng cách chuyển qua thương từ quan hệ $x^{-1}y \in \mathbf{A}$ trong $K^*$ (Đại số, Chương VI, § 1, no. 5).

(a) Để một iđêan phân thức $a \neq 0$ của $K$ là iđêan chia được, điều kiện cần và đủ là ảnh của $a - \{0\}$ trong $G$ là một tập hợp lớn trong $G$ (Đại số, Chương VI, § 1, Bài tập 30); đối với mọi iđêan phân thức $a \neq 0$ của $K$, ảnh của $a - \{0\}$ là tập hợp lớn nhỏ nhất chứa ảnh của $a - \{0\}$. Nếu $\mathbf{A}$ là một miền Krull, $G$ là một nhóm có thứ tự đẳng cấu với một nhóm con có hướng của một nhóm có thứ tự có dạng $\mathbf{Z}^{(1)}$.

(b) Chứng minh rằng để một đồng cấu $w$ của $G$ vào một nhóm được sắp thứ tự toàn phần $\Gamma$ có tính chất rằng hạn chế vào $A - \{0\}$ của ánh xạ hợp thành $K^* \to K^*/U \xrightarrow{w} \Gamma$ là một định giá, thì điều kiện cần và đủ là $w$ là một đồng cấu tăng.

(c) Cho $H$ là nhóm con có hướng của nhóm có thứ tự tích $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ gồm các cặp có thứ tự $(s_1, s_2)$ sao cho $s_1 + s_2 \equiv 0$ (mod. 2). Chứng minh rằng không tồn tại miền nguyên $\mathbf{A}$ sao cho $K^*/U$ là một nhóm có thứ tự đẳng cấu với $H$ (suy ra từ (b) rằng một miền như vậy tất yếu sẽ là một miền Krull, nhưng Mệnh đề 9 của no. 5 sẽ không đúng đối với vành này (xem Bài tập 22)).