Exercice 5, § 1

Soient A un anneau intègre, K son corps des fractions, U le sous-groupe de K* formé des éléments inversibles de A ; on considère le groupe K*/U = G comme ordonné par la relation déduite par passage au quotient de la relation x^{-1} y \in A dans K* (Alg., chap. VI, § 1, n° 5).

a) Pour qu’un idéal fractionnaire $\alpha \neq 0$ de K soit divisoriel, il faut et il suffit que l’image de $\alpha - \{0\}$ dans G soit un ensemble majeur dans G (Alg., chap. VI, § 1, exerc. 30); pour tout idéal fractionnaire $\alpha \neq 0$ de K, l’image de $\tilde{\alpha} - \{0\}$ est le plus petit ensemble majeur contenant l’image de $\alpha - \{0\}$. Si A est un anneau de Krull, G est un groupe ordonné isomorphe à un sous-groupe filtrant d’un groupe ordonné de la forme $\mathbf{Z}^{(l)}$.

b) Montrer que pour qu’un homomorphisme w de G dans un groupe totalement ordonné $\Gamma$ soit tel que la restriction à A – {0} de l’application composée $K^* \to K^*/U \xrightarrow{w} \Gamma$ soit une valuation, il faut et il suffit que w soit un homomorphisme croissant.

c) Soit H le sous-groupe filtrant du groupe ordonné produit $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ formé des couples $(s_1, s_2)$ tels que $s_1 + s_2 \equiv 0$ (mod. 2). Montrer qu’il n’existe aucun anneau intègre A tel que K*/U soit un groupe ordonné isomorphe à H (déduire de b) qu’un tel anneau serait nécessairement un anneau de Krull, mais la prop. 9 du n° 5 ne serait pas vérifiée pour cet anneau (cf. exerc. 22)).