Bài tập 9, § 1

(a) Cho $B$ là một vành định giá rời rạc, $A = B[[X]]$ là vành các chuỗi lũy thừa hình thức theo một bất định trên $B$ và $C = A$, vành các phân thức $S^{-1}A$, trong đó $S$ là tập hợp nhân của $X^h \ (h \geq 0)$. Cho $v$ là một định giá chuẩn trên $B$; với mọi phần tử $f = \sum_{n \geq h} b_n X^n \neq 0$ của $C$ với $b_h \neq 0$ trong $B$ ($h$ dương hoặc âm), ta viết $s(f) = v(b_h)$. Chứng minh rằng $s$ là một hàm Euclid trên $C$ (Đại số, Chương VII, § 1, Bài tập 7), sao cho $s(fg) = s(f) + s(g)$ đối với các $f, g$ khác không trong $C$. (Nếu $s(f) = p \geq s(g) = q$ và $h$ là bậc nhỏ nhất của các số hạng $\neq 0$ trong $f$, chứng minh rằng tồn tại $u \in C$ sao cho $f - ug = X^{h+1}f_1$ trong đó $f_1 \in C$ và, bằng cách lập luận bằng reductio ad absurdum suy ra sự tồn tại của một quá trình "phép chia Euclid" trong $C$.) Nếu $s(f) = 0$, $f$ là khả nghịch trong $C$.

Chứng minh rằng $A$ không phải là một miền Dedekind.

(b) Suy ra từ (a) rằng, nếu $B$ là một miền Krull, thì $A = B[[X]]$ cũng là một miền Krull. (Nếu $K$ là trường các phân thức của $B$, chú ý rằng $A$ là giao của $K[[X]]$ và một họ $(C_i)$ các miền chính có cùng trường các phân thức với $A$ và rằng mọi phần tử của $A$ đều khả nghịch trong hầu hết các $C_i$.)