Exercice 9, § 1

a) Soient B un anneau de valuation discrète, $A = B[[X]]$ l’anneau des séries formelles à une indéterminée sur B, $C = A_X$ l’anneau de fractions $S^{-1}A$, où S est l’ensemble multiplicatif des $X^h$ ($h \geq 0$). Soit $v$ la valuation normée sur B ; pour tout élément $f = \sum_{n \geq h} b_n X^n \neq 0$ de C avec $b_h \neq 0$ dans B ($h$ positif ou négatif), on pose $s(f) = v(b_h)$. Montrer que s est un stathme euclidien sur C (Alg., chap. VII, § 1, exerc. 7), tel que $s(fg) = s(f) + s(g)$ pour $f, g$ non nuls dans C. (Si $s(f) = p \geq s(g) = q$, et si $h$ est le plus petit des degrés des termes $\neq 0$ de $f$, montrer qu’il existe $u \in C$ tel que $f - ug = X^{h+1}f_1$ où $f_1 \in C$, et, en raisonnant par l’absurde, en déduire l’existence d’un processus de « division euclidienne » dans C). Si $s(f) = 0$, $f$ est inversible dans C.

\* Montrer que A n’est pas un anneau de Dedekind. \*

b) Déduire de a) que si B est un anneau de Krull, $A = B[[X]]$ est aussi un anneau de Krull. (Si K est le corps des fractions de B, remarquer que A est intersection de K[[X]] et d’une famille (C_i) d’anneaux principaux ayant même corps des fractions que A, et que tout élément de A est inversible dans presque tous les C_i).