Bài tập 10, § 2

Cho $A$ là một vành trong đó mọi iđêan đều là một tích của các iđêan nguyên tố. (a) Chứng minh rằng, đối với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, $A/p$ là một miền Dedekind (Bài tập 9). (b) Chứng minh rằng tập hợp các iđêan nguyên tố cực tiểu $p_i$ của $A$ là hữu hạn (phân tích $O$ thành một tích của các iđêan nguyên tố). (c) Giả sử rằng $A/p_i$ không là một trường. Chứng minh rằng, nếu $y \in p_i$, thì, với mọi $x \in A - p_i$, tồn tại $z \in p_i$ sao cho $y = zx$. (Xét trong $A$ các phân tích thành tích của các iđêan nguyên tố của $Ax$ và $Ax + Ay$ và các phân tích tương ứng trong $A/p_i$.) Suy ra rằng, với mọi $y$ khác không thuộc $p_i$, $Ay = p_i$ (xét $p_i/Ay$, phân tích $Ay$ thành một tích của các iđêan nguyên tố); cuối cùng chứng minh rằng $p_i = p_i^2$ và do đó tồn tại trong $p_i$ một phần tử lũy đẳng $e_i$ sao cho $p_i = Ae_i$ (xem Chương II, § 4, Bài tập 15). Khi đó $A$ là hợp thành trực tiếp của vành $Ae$, và vành $A(1 - e_i)$, đẳng cấu với miền Dedekind $A/p_i$. (d) Bây giờ giả sử rằng tất cả các $p_i$ đều là cực đại, sao cho $A$ là hợp thành trực tiếp của các vành có dạng $A/p_i^{n_i}$ (Chương II, § 1, số, 2, Mệnh đề 5) và do đó ta có thể giới hạn sự chú ý vào trường hợp $A$ là nguyên sơ hoặc iđêan nguyên tố duy nhất $p$ của $A$ là lũy linh. Chứng minh rằng trong trường hợp này giả thiết kéo theo rằng $A$ là một vành iđêan chính (Đại số, Chương VII, § 1, Bài tập 5 và 6). (e) Kết luận từ (c) và (d) rằng $A$ là tích của một số hữu hạn các miền Dedekind và một vành iđêan chính.