Exercice 10, § 2

Soit $A$ un anneau dans lequel tout idéal est produit d’idéaux premiers.

a) Montrer que pour tout idéal premier $p$ de $A$, $A/p$ est un anneau de Dedekind (exerc. 9).

b) Montrer que l’ensemble des idéaux premiers minimaux $p_i$ de $A$ est fini (décomposer (0) en produit d’idéaux premiers).

c) On suppose que $A/p_i$ n’est pas un corps. Montrer que si $y \in p_i$, alors, pour tout $x \in A - p_i$, il existe $z \in p_i$ tel que $y = zx$. (Considérer dans $A$ les décompositions en produits d’idéaux premiers de $Ax$ et $Ax + Ay$, et les décompositions correspondantes dans $A/p_i$). En déduire que pour tout $y \in p_i$, non nul, on a $Ay = p_i$ (considérer $p_i/Ay$, en décomposant $Ay$ en produit d’idéaux premiers); montrer enfin que l’on a $p_i = p_i^2$ et par suite qu’il existe dans $p_i$ un idempotent $e_i$ tel que $p_i = Ae_i$ (cf. chap. II, § 4, exerc. 15)). Alors $A$ est composé direct de l’anneau $Ae_i$ et de l’anneau $A(1 - e_i)$, isomorphe à l’anneau de Dedekind $A/p_i$.

d) On suppose maintenant que tous les $p_i$ sont maximaux, de sorte que $A$ est composé direct d’anneaux de la forme $A/p_i^{v_i}$ (chap. II, §-1, n° 2, prop. 5), et on peut donc se borner au cas où $A$ est primaire et où l’unique idéal premier $p$ de $A$ est nilpotent. Montrer que dans ce cas l’hypothèse entraîne que $A$ est quasi-principal (Alg., chap. VII, § 1, exerc. 5 et 6).

e) Conclure de c) et d) que $A$ est produit d’un nombre fini d’anneaux de Dedekind et d’un anneau quasi-principal.