Bài tập 12, § 2

Cho $A$ là một miền nguyên và $K$ là trường các phân thức của nó. Hãy chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: (a) Với mọi iđêan nguyên tố $p$ của $A$, vành địa phương $A_p$ là một vành định giá. (b) Với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, vành địa phương $A_m$ là một vành định giá.

(y) Mọi iđêan sinh hữu hạn $\neq 0$ trong $\mathbf{A}$ đều khả nghịch (và do đó các iđêan phân thức sinh hữu hạn $\neq 0$ tạo thành một nhóm).

(6) Mọi $\mathbf{A}$-môđun xoắn tự do sinh hữu hạn đều xạ ảnh.

(E) Với mọi $x \in K$, iđêan phân thức $\mathbf{A} + \mathbf{A}x$ là khả nghịch.

($\zeta$) Với mọi $x \neq 0$ trong $K$, tồn tại $y \in K$ sao cho $y \equiv 0 \pmod{1}$, $y \equiv 0 \pmod{x}$ và $y \equiv 1 \pmod{1-x}$.

($\eta$) Nếu $(a_i)$ là một họ hữu hạn các iđêan của $A$, để hệ đồng dư $x \equiv c_i \pmod{a_i}$ có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là $c_i \equiv c_j \pmod{(a_i + a_j)}$ với mọi cặp chỉ số $i, j$ ("định lý phần dư Trung Hoa").

($\theta$) Nếu $a, b, c$ là ba iđêan của $\mathbf{A}$, thì $a \cap (b + c) = a \cap b + a \cap c$.

(t) Nếu $a, b, c$ là ba iđêan của $\mathbf{A}$, thì $a + (b \cap c) = (a + b) \cap (a + c)$.

(x) $\mathbf{A}$ đóng nguyên và mọi iđêan sinh hữu hạn của $\mathbf{A}$ là chia được.

($\lambda$) $\mathbf{A}$ đóng nguyên và với $z \neq 0$ trong $K$ tồn tại $x, y$ trong $\mathbf{A}$ sao cho $z = x + yz^2$.

(p) $\mathbf{A}$ đóng nguyên và, nếu $a, b, c$ là ba iđêan phân thức sinh hữu hạn $\neq 0$, quan hệ $ab = ac$ kéo theo $b = c$.

(v) Với mọi $\mathbf{A}$-môđun $M$ sinh hữu hạn, môđun con xoắn của $M$ là một nhân tử trực tiếp của $M$.

($\sigma$) Mọi vành $B$ sao cho $\mathbf{A} \subset B \subset K$ đều là một miền đóng nguyên.

Khi đó $\mathbf{A}$ được gọi là một miền Prüferian (hay một miền Prüfer).

(Để chứng minh tính tương đương của ($a$), ($\beta$), (y) và ($\delta$), sử dụng Chương II, § 5, no. 2, Định lý 1 và no. 6, Định lý 4. Để chứng minh rằng ($E$) kéo theo (y), sử dụng đẳng thức $(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca)$ giữa ba iđêan phân số trong một miền nguyên. Để chứng minh rằng ($\zeta$) kéo theo ($\eta$), lập luận bằng quy nạp theo số các $a_i$. Sự tương đương của (q), (l) và (t) đã được chứng minh trong Đại số, Chương VI, § 1, Bài tập 25. Chứng minh rằng (A) kéo theo ($E$) bằng cách nhận xét rằng ($\lambda$) kéo theo quan hệ

sử dụng Bài tập 6 (b) của § 1 và nhận xét rằng

Để chứng minh rằng (p) kéo theo (A), nhận xét rằng luôn luôn

Chứng minh rằng (x) kéo theo ($\lambda$) bằng cách nhận xét rằng mọi iđêan chính phân số $\mathbf{A}$ chứa $\mathbf{A}$ và $\mathbf{A}z^2$ cũng chứa $\mathbf{A}z$. Để chứng minh rằng (v) kéo theo (y), xét, với một iđêan nguyên sinh hữu hạn $a \neq 0$ của $\mathbf{A}$, một phần tử khác không $c \in a(A : a)$ và áp dụng Bài tập 32 của § 1 cho iđêan $b = ca$. Để chứng minh rằng ($s$) kéo theo ($\beta$), rút gọn về trường hợp $\mathbf{A}$ là một vành địa phương, xét một phần tử $z \in K - \mathbf{A}$ và chỉ ra rằng $z^{-1} \in \mathbf{A}$, bằng cách nhận xét rằng giả thiết kéo theo $z \in \mathbf{A}[z^2]$.