Exercice 12, § 2

Soient $A$ un anneau intègre, $K$ son corps des fractions. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes:

$\alpha$ Pour tout idéal premier $p$ de $A$, l’anneau local $A_p$ est un anneau de valuation.

$\beta$ Pour tout idéal maximal $m$ de $A$, l’anneau local $A_m$ est un anneau de valuation.

$\gamma$ Tout idéal $\neq 0$ et de type fini dans $A$ est inversible (et par suite les idéaux fractionnaires $\neq 0$ et de type fini forment un groupe).

$\delta$ Tout $A$-module sans torsion et de type fini est projectif.

ε) Pour tout $x \in K$, l’idéal fractionnaire $A + Ax$ est inversible.

ζ) Pour tout $x \neq 0$ dans $K$, il existe $y \in K$ tel que $y \equiv 0$ (mod. 1), $y \equiv 0$ (mod. $x$), $y \equiv 1$ (mod. $1 - x$).

η) Si $(\alpha_i)$ est une famille finie d’idéaux de $A$, pour que le système de congruences $x \equiv c_i$ (mod. $\alpha_i$) ait une solution, il faut et il suffit que $c_i \equiv c_j$ (mod. $(\alpha_i + \alpha_j)$) pour tout couple d’indices $i, j$ (« théorème chinois »).

θ) Si $a, b, c$ sont trois idéaux de $A$, on a $a \cap (b + c) = a \cap b + a \cap c$.

ι) Si $a, b, c$ sont trois idéaux de $A$, on a $a + (b \cap c) = (a + b) \cap (a + c)$.

κ) $A$ est intégralement clos et tout idéal de type fini dans $A$ est divisoriel.

λ) $A$ est intégralement clos et pour tout $z \neq 0$ dans $K$, il existe $x, y$ dans $A$ tels que $z = x + yz^2$.

μ) $A$ est intégralement clos et si $a, b, c$ sont trois idéaux fractionnaires $\neq 0$ de type fini, la relation $ab = ac$ entraîne $b = c$.

ν) Pour tout $A$-module $M$ de type fini, le sous-module de torsion de $M$ est facteur direct de $M$.

σ) Tout anneau $B$ tel que $A \subset B \subset K$ est intégralement clos.

On dit alors que $A$ est un anneau prüférien (ou anneau de Prüfer).

(Pour prouver l’équivalence de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\delta$), utiliser le chap. II, § 5, n° 2, th. 1 et n° 6, th. 4. Pour prouver que $\varepsilon$ entraîne $\gamma$, on utilisera l’identité $(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca)$ entre trois idéaux fractionnaires dans un anneau intègre. Pour prouver que $\zeta$ entraîne $\eta$, raisonner par récurrence sur le nombre des $\alpha_i$. L’équivalence de $\eta$, $\theta$ et $\iota$ a été démontrée dans Alg., chap. VI, § 1, exerc. 25. Prouver que $\lambda$ entraîne $\varepsilon$ en remarquant que $\lambda$ entraîne la relation

en utilisant l’exerc. 6 b) du § 1, et en notant que

Prouver que $\mu$ entraîne $\lambda$ en remarquant que l’on a toujours

Prouver que $\kappa$ entraîne $\lambda$ en notant que tout idéal principal fractionnaire $At$ qui contient $A$ et $Az^2$ contient aussi $Az$. Pour prouver que $\nu$ entraîne $\gamma$, considérer, pour un idéal entier de type fini $a \neq 0$ de $A$, un élément $c \in a(A : a)$ non nul et appliquer l’exerc. 32 du § 1 à l’idéal $b = ca$. Pour prouver que $\sigma$ entraîne $\beta$, se ramener au cas où $A$ est un anneau local, considérer un élément $z \in K - A$, et montrer que $z^{-1} \in A$ en remarquant que l’hypothèse entraîne que $z \in A[z^2]$.