Bài tập 15, § 2

Cho K là một trường đầy đủ đối với định giá $v$, A là vành của định giá, $k$ là trường thặng dư của nó và P là một đa thức trong $A[X_1, \ldots, X_n]$ có bậc toàn phần d với tính chất sau đây: tồn tại một mở rộng đại số $K'$ của K sao cho trong $K'[X_1, \ldots, X_n]$ P là một tích của các đa thức có bậc toàn phần 1. Giả sử thêm rằng tồn tại hai đa thức Q, R trong $A[X_1, \ldots, X_n]$ sao cho Q có bậc toàn phần s và chứa một đơn thức $aX_1^s$ với $\phi(a) \neq 0$ ($\phi$ ký hiệu đồng cấu chính tắc $A \to k$), R có bậc $\leq d - s$ và $\overline{P} = \overline{Q} \cdot \overline{R}$ (ký hiệu của Chương III, § 4). Chứng minh rằng khi đó tồn tại trong $A[X_1, \ldots, X_n]$ hai đa thức $Q_0, R_0$, có các bậc tương ứng s, $d - s$, sao cho $P = Q_0 R_0$, $\overline{Q} = \overline{Q}_0$, $\overline{R} = \overline{R}_0$ và $Q_0$ chứa một đơn thức $a_0 X_1^s$ với $\phi(a_0) = \phi(a_0)$. (Xem P, Q, R như các đa thức theo X, với các hệ số trong vành B, phần đầy đủ của $A[X_2, \ldots, X_n]$ đối với định giá thu được bằng cách mở rộng $v$ theo phương pháp của Chương VI, § 10, no. 1, Mệnh đề 2; sau đó áp dụng Bổ đề Hensel; cuối cùng sử dụng giả thiết ban đầu về P.)