Bài tập 17, § 2

(a) Cho A là một miền nguyên; hãy chỉ ra rằng trong vành $A[X_{ij}]$, trong đó $(X_{ij})$ là một họ gồm $n^2$ bất định $(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n)$, phần tử $\det(X_{ij})$ là cực biên. (Rút gọn về trường hợp A là một trường; nhận xét rằng các thừa số của $\det(X_{ij})$ tất yếu là các đa thức thuần nhất và lập luận bằng quy nạp theo n) (b) Cho K là một trường vô hạn và F là một đa thức trong $K[Y_1, \ldots, Y_m]$, cũng được viết là $F(Y)$; với mỗi ma trận bình phương $s = (\alpha_{ij})$ cấp m có các phần tử trong K, ký hiệu $F(s, Y)$ là đa thức F, trong đó phần tử $\sum_{j=1}^m \alpha_{ij} Y_j$ đã được thay vào mỗi $Y_j$. Chỉ ra rằng, nếu F là cực biên, thì $F(s, Y)$ cũng là cực biên đối với mọi ma trận khả nghịch s. Nếu tồn tại một số nguyên $k \geq 0$ sao cho

đối với mọi ma trận khả nghịch s, thì F tất yếu là thuần nhất theo mỗi $Y_j$;

hơn nữa, nếu $F = GH$ trong đó G và H là hai đa thức trong $K[Y_1, \ldots, Y_m]$, tồn tại hai số nguyên p và q sao cho $p + q = k$ và

đối với mọi ma trận khả nghịch s (sử dụng (a)).

(c) Cho A là một vành khác 0; xét vành đa thức $A[X_{ij}]$, trong đó các $X_{ij}$ là $n(n+1)/2$ (tương ứng, $2n(2n-1)/2$) bất định với $1 \leq i \leq j \leq n$ (tương ứng, $1 \leq i < j \leq 2n$); cho $U = (\xi_{ij})$ (tương ứng, $V = (\eta_{ij})$) là ma trận bình phương cấp n (tương ứng, $2n$) trên $A[X_{ij}]$ sao cho $\xi_{ij} = X_{ij}$ với $1 \leq i \leq j \leq n$ và $\xi_{ij} = X_{ji}$ với $i > j$ (tương ứng, $\eta_{ii} = 0$ với $1 \leq i \leq 2n$, $\eta_{ij} = X_{ij}$ với $1 \leq i < j \leq 2n$, $\eta_{ij} = -X_{ji}$ với $i > j$). Chỉ ra rằng $\det(U)$ (tương ứng, $\mathrm{Pf}(V)$) là một phần tử cực biên trong $A[X_{ij}]$ (lập luận như trong (b), xét $\det(s \cdot U \cdot t_s)$ và $\mathrm{Pf}(s \cdot V \cdot t_s)$).