Exercice 17, § 2

Soit A un anneau intègre. a) Pour que A soit bezoutien (§ 1, exerc. 20), il faut et il suffit qu’il soit prüférien et pseudo-bezoutien (§ 1, exerc. 21). b) Pour que A soit un anneau de Dedekind, il faut et il suffit qu’il soit un anneau de Krull prüférien (montrer que tout idéal divisoriel de A est de type fini, en utilisant l’exerc. 12, κ) et le § 1, exerc. 11a); en déduire que tout idéal premier ≠ 0 de A est maximal (exerc. 13b)), puis que tout idéal premier de A est de type fini, et conclure à l’aide du chap. II, § 1, exerc. 6). c) Pour que A soit un anneau de Dedekind, il faut et il suffit qu’il soit prüférien et fortement laskérien (chap. IV, § 2, exerc. 28). (Observer que si A est prüférien et fortement laskérien, tout idéal maximal m de A est tel que A_m soit un anneau de valuation discrète (chap. VI, § 3, exerc. 8), puis que pour tout x ∈ A non nul, il y a un produit d’un nombre fini d’idéaux maximaux de A contenu dans l’idéal Ax, et en conclure que A est un anneau de Krull).