Bài tập 20, § 2

Cho A là một miền nhân tử hóa và $f = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ là một đa thức trong $A[X]$: giả sử rằng tồn tại một phần tử cực trị $p$ trong A sao cho: (1) tồn tại một chỉ số $k \leq n$ sao cho $a_i$ không chia được cho $p$ nhưng $a_i$ chia được cho $p$ đối với $i < k$; (2) $a_i$ chia được cho $p$ nhưng không chia được cho $p^2$. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này một trong các nhân tử bất khả quy của f trong $A[X]$ có bậc $\geq k$ (lập luận trong $(A/pA)[X]$). Xét trường hợp riêng khi $k = n$ ("tiêu chuẩn bất khả quy Eisenstein").