Exercice 20, § 2

Soient $A$ un anneau de Dedekind, $K$ son corps des fractions, $L$ une extension algébrique de $K$, de degré fini, $B$ la fermeture intégrale de $A$ dans $L$, qui est un anneau de Dedekind. Soit $f$ un idéal de $B$. Pour qu’il existe un anneau $C$ tel que $A \subset C \subset B$ et tel que $f$ soit le conducteur de $B$ dans $C$ (chap. V, § 1, no 5), il faut et il suffit que pour tout idéal premier $p'$ de $B$ contenant $f$, tel que le corps $B/p'$ soit isomorphe à

A/(p' ∩ A) (idéaux premiers de degré résiduel 1), les intersections de f et du transporteur f : p' de p' dans f avec A soient égales. (Noter que s’il existe un tel anneau C, le conducteur de B dans l’anneau C_0 = A + f est encore égal à f ; l’existence de C équivaut donc au fait que A + f ne contient aucun idéal de B distinct de f et contenant f. Pour prouver que cette dernière condition équivaut à celle de l’énoncé, se ramener au cas où A est un anneau de valuation discrète).