Bài tập 7, § 2

Cho $\mathbf{A}$ là một miền Noether. Hãy chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: (α) $\mathbf{A}$ là một miền Dedekind. (β) Với mọi iđêan cực đại $m$ của $\mathbf{A}$, không tồn tại iđêan $a$ phân biệt với $m$ và $m^2$ sao cho $m^2 \subset a \subset m$. (γ) Với mọi iđêan cực đại $m$ của $\mathbf{A}$, tập hợp các iđêan nguyên sơ đối với $m$ được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm. (δ) Với mọi iđêan cực đại $m$ của $\mathbf{A}$, mọi iđêan nguyên sơ đối với $m$ là một tích của các iđêan nguyên tố. (Chứng minh rằng mỗi tính chất (γ) và (δ) kéo theo (β); sau đó chứng minh rằng (β) kéo theo rằng $\mathbf{A}_{m}$ là một trường hoặc một vành định giá rời rạc (xem Chương VI, § 3, no. 5, Mệnh đề 9).) Hãy cho một ví dụ về một miền nguyên địa phương thỏa mãn các tính chất (β), (γ) và (δ), nhưng không phải là một vành định giá (xem Chương VI, § 3, Bài tập 7).