Exercice 7, § 2

Soit $A$ un anneau noethérien intègre. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : $\alpha)$ $A$ est un anneau de Dedekind. $\beta)$ Pour tout idéal maximal $m$ de $A$, il n’existe aucun idéal $a$ distinct de $m$ et de $m^2$ et tel que $m^2 \subset a \subset m$. $\gamma)$ Pour tout idéal maximal $m$ de $A$, l’ensemble des idéaux primaires pour $m$ est totalement ordonné par inclusion. $\delta)$ Pour tout idéal maximal $m$ de $A$, tout idéal primaire pour $m$ est produit d’idéaux premiers. (Prouver que chacune des propriétés $\gamma$) et $\delta)$ entraîne $\beta)$; montrer ensuite que $\beta)$ entraîne que $A_m$ est un corps ou un anneau de valuation discrète (cf. chap. VI, § 3, n° 5, prop. 9)). Donner un exemple d’anneau local intègre vérifiant les propriétés $\beta)$, $\gamma)$ et $\delta)$, et qui n’est pas un anneau de valuation (cf. chap. VI, § 3, exerc. 7).