Bài tập 8, § 2

Cho $\mathbf{A}$ là một miền nguyên trong đó mọi iđêan nguyên tố $\neq 0$ đều khả nghịch. Hãy chứng minh rằng $\mathbf{A}$ là một miền Dedekind. (Trước hết hãy chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố $q' \neq 0$ của $\mathbf{A}$ là cực đại, nhận xét rằng, nếu $p$ là một iđêan nguyên tố sao cho $q \neq p'$ và $p \supset p'$, thì $p': p = p'$ (Chương 11, § 1, Các bài tập 8 (b)) và mặt khác rằng $p': p = p'p^{-1}$, do đó suy ra một mâu thuẫn. Hãy suy ra rằng $\mathbf{A}$ là Noether (Chương II, § 1, Bài tập 6 (b)) và cuối cùng áp dụng Chương II, § 5, no. 6, Định lý 4 để chứng minh rằng $\mathbf{A}_m$ là một trường hoặc một vành định giá rời rạc đối với mọi iđêan cực đại $m$ của $\mathbf{A}$.)