Exercice 8, § 2

Soit $A$ un anneau intègre dans lequel tout idéal premier $\neq 0$ est inversible. Montrer que $A$ est un anneau de Dedekind. (Prouver d’abord que tout idéal premier $p' \neq 0$ de $A$ est maximal, en notant que si $p$ est un idéal premier tel que $p \neq p'$ et $p \supset p'$, on a $p': p = p'$ (chap. II, § 1, exerc. 8 b)), et d’autre part que l’on a $p': p = p'{p'}^{-1}$, d’où on déduit une contradiction. En déduire que $A$ est noethérien (chap. II, § 1, exerc. 6 b)), et appliquer enfin le chap. II, § 5, n° 6, th. 4 pour montrer que $A_m$ est un corps ou un anneau de valuation discrète pour tout idéal maximal $m$ de $A$.