Bài tập 9, § 2

Cho $\mathbf{A}$ là một miền nguyên. (a) Cho $(p_i)_{1 \leq i \leq m}, (p'_j)_{1 \leq j \leq n}$ là hai họ hữu hạn các iđêan nguyên tố khả nghịch sao cho $p_1p_2\ldots p_m = p'_1p'_2\ldots p'_n$. Chứng minh rằng $m = n$ và tồn tại một phép hoán vị $\pi$ của $[1, n]$ sao cho $p'_i = p_{\pi(i)}$ với mọi $i$ sao cho $1 \leq i \leq n$. (b) Cho $p$ là một iđêan nguyên tố của $\mathbf{A}$ và $a$ là một phần tử của $\mathbf{A} - q$; nếu $p \subset \mathbf{A}a + p^2$, chứng minh rằng $p = p(\mathbf{A}a + p)$; suy ra rằng, nếu $p$ khả nghịch, thì $\mathbf{A}a + p = \mathbf{A}$. (c) Chứng minh rằng, nếu mọi iđêan của $\mathbf{A}$ là một tích (không nhất thiết duy nhất tiên nghiệm) của các iđêan nguyên tố của $\mathbf{A}$, thì $\mathbf{A}$ là một miền Dedekind. (Trước hết chứng minh rằng mọi iđêan nguyên tố khả nghịch $q$ là cực đại, bằng cách xét một phần tử $a \in \mathbf{A} - q$ và các phân tích của $\mathbf{A}a + p$ và $\mathbf{A}a^2 + q$ thành các tích của các iđêan nguyên tố và áp dụng (a) trong vành $A/p$ để chứng minh rằng $Aa^2 + p = (Aa + p)^2$; sau đó dùng (b). Chứng minh tiếp rằng mọi iđêan nguyên tố $p \neq 0$ là khả nghịch, bằng cách phân tích thành một tích các iđêan nguyên tố một iđêan chính $Ab$ trong đó $b \in p$, nhận thấy rằng các thừa số của tích này là khả nghịch và, bằng cách áp dụng điều trên, chứng minh rằng $p$ nhất thiết bằng một trong các thừa số này. Kết luận nhờ Bài tập 8.)