Exercice 9, § 2

Soit $A$ un anneau intègre. a) Soient $(p_i)_{1 \leq i \leq m}, (p'_j)_{1 \leq j \leq n}$ deux familles finies d’idéaux premiers inversibles, telles que $p_1 p_2 \ldots p_m = p'_1 p'_2 \ldots p'_n$. Montrer que l’on a $m = n$ et qu’il existe une permutation $\pi$ de $\{1, n\}$ telle que $p'_i = p_{\pi(i)}$ pour tout $i$ tel que $1 \leq i \leq n$. b) Soient $p$ un idéal premier de $A$, $a$ un élément de $A - p$; si $p \subset Aa + p^2$, montrer que l’on a $p = p(Aa + p)$; en déduire que si $p$ est inversible, on a $Aa + p = A$. c) Montrer que si tout idéal de $A$ est produit (non nécessairement unique a priori) d’idéaux premiers de $A$, $A$ est un anneau de Dedekind. (Montrer d’abord que tout idéal premier inversible $p$ est maximal, en considérant un élément $a \in A - p$, des décompositions de $Aa + p$ et $Aa^2 + p$ en produit d’idéaux premiers, et en appliquant a) dans l’anneau $A/p$ pour montrer que $Aa^2 + p = (Aa + p)^2$; utiliser ensuite b). Prouver ensuite que tout idéal premier $p \neq 0$ est inversible, en décomposant en produit d’idéaux premiers un idéal principal $Ab$ pour $b \in p$, observant que les facteurs de ce produit sont inversibles, et en appliquant ce qui précède, montrer que $p$ est nécessairement égal à un de ces facteurs. Conclure à l’aide de l’exerc. 8).