Bài tập 1, § 3

Để một vành nguyên $A$ là giai thừa, điều kiện cần và đủ là tồn tại một ánh xạ $x \to s(x)$ từ $A - \{0\}$ vào $\mathbf{N}$, sao cho $s(xy) = s(x) + s(y)$, sao cho quan hệ $s(x) = 0$ kéo theo x là khả nghịch trong A, và cuối cùng sao cho với hai phần tử bất kỳ x, y của $A - \{0\}$, mà không phần tử nào trong chúng chia hết phần tử kia, tồn tại các phần tử a, b, z, t của $A - \{0\}$ sao cho $ax + by = zt, \ s(z) < s(x), \ t$ nguyên tố cùng nhau với $x$ và với $y$. (Nếu điều kiện này được thỏa mãn, trước hết hãy chứng minh rằng mọi phần tử khác không của $A$ là một tích của các phần tử cực biên, sau đó rằng với mọi phần tử cực biên $p, Ap$ là một iđêan nguyên tố; kết luận nhờ Định lý 1, $d$).