Exercice 1, § 3

Pour qu’un anneau intègre A soit factoriel, il faut et il suffit qu’il existe une application $x \to s(x)$ de $A - \{0\}$ dans $\mathbf{N}$, telle que $s(xy) = s(x) + s(y)$, que la relation $s(x) = 0$ entraîne que x est inversible dans A, et enfin que pour deux éléments quelconques x, y de $A - \{0\}$, dont aucun ne divise l’autre, il existe des éléments a, b, z, t de $A - \{0\}$ tels que $ax + by = zt, \ s(z) < s(x), \ t$ étant étranger à $x$ et à $y$. (Si cette condition est remplie, montrer d’abord que tout élément non nul de $A$ est produit d’éléments extrémaux, puis que pour tout élément extrémal $p, Ap$ est un idéal premier ; conclure à l’aide du th. 1, $d$).