Bài tập 17, § 3

a) Cho A là một vành nguyên; bây giờ chứng minh rằng trong vành $A[X_{ij}]$, trong đó $(X_{ij})$ là một họ gồm $n^2$ phần tử bất định $(1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n)$, phần tử $\det(X_{ij})$ là tối cực. (Rút gọn về trường hợp A là một trường; nhận xét rằng các nhân tử của $\det(X_{ij})$ tất yếu sẽ là các đa thức thuần nhất, và lập luận bằng quy nạp theo n).

b) Cho K là một trường vô hạn, F là một đa thức của $K[Y_1, \ldots, Y_m]$, cũng được viết là $F(Y)$; với mỗi ma trận bình phương $s = (\alpha_{ij})$ cấp m có các phần tử trong K, ký hiệu $F(s . Y)$ là đa thức F trong đó ta đã thay cho mỗi $Y_i$ phần tử $\sum_{j=1}^m \alpha_{ij} Y_j$. Bây giờ chứng minh rằng nếu F là tối cực, điều tương tự cũng đúng đối với $F(s . Y)$ với mọi ma trận khả nghịch s. Nếu tồn tại một số nguyên $k \geq 0$ sao cho $F(s . Y) = (\det(s))^k F(Y)$ với mọi ma trận khả nghịch s, F tất yếu là thuần nhất đối với mỗi $Y_j$; hơn nữa, nếu $F = GH$ trong đó G và H là hai đa thức của $K[Y_1, \ldots, Y_m]$, tồn tại hai số nguyên $p$ và $q$ sao cho $p + q = k$ và $G(s.Y) = (\det(s))^p G(Y)$, $H(s.Y) = (\det(s))^q H(Y)$ với mọi ma trận khả nghịch s (dùng $a$).

c) Cho $A$ là một vành khác không; xét vành đa thức $A[X_{ij}]$, trong đó các $X_{ij}$ là $n(n+1)/2$ (tương ứng $2n(2n-1)/2$) phần tử bất định, với $1 \leq i \leq j \leq n$ (tương ứng $1 \leq i < j \leq 2n$); gọi $U = (\xi_{ij})$ (tương ứng $V = (\eta_{ij})$) là ma trận bình phương cấp n (tương ứng $2n$) trên $A[X_{ij}]$ sao cho $\xi_{ij} = X_{ij}$ với $1 \leq i \leq j \leq n$ và $\xi_{ij} = X_{ji}$ với $i > j$ (tương ứng $\eta_{ii} = 0$ với $1 \leq i \leq 2n$, $\eta_{ij} = X_{ij}$ với $1 \leq i < j \leq 2n$, $\eta_{ij} = -X_{ji}$ với $i > j$). Bây giờ chứng minh rằng $\det(U)$ (tương ứng $\mathrm{Pf}(V)$) là một phần tử tối cực trong $A[X_{ij}]$ (lập luận như trong $b$), bằng cách xét $\det(s.U.'s)$ và $\mathrm{Pf}(s.V.'s)$.