Exercice 17, § 3

a) Soit A un anneau intègre; montrer que dans l’anneau $A[X_{ij}]$, où $(X_{ij})$ est une famille de $n^2$ indéterminées $(1 \leq i \leq n,\ 1 \leq j \leq n)$, l’élément $\det(X_{ij})$ est extrémal. (Se ramener au cas où A est un corps; observer que les facteurs de $\det(X_{ij})$ seraient nécessairement des polynômes homogènes, et raisonner par récurrence sur n).

b) Soient K un corps infini, F un polynôme de $K[Y_1, \ldots, Y_m]$, qu’on écrit aussi $F(Y)$; pour toute matrice carrée $s = (\alpha_{ij})$ d’ordre m à éléments dans K, on note $F(s . Y)$ le polynôme F où on a substitué à chaque $Y_i$ l’élément $\sum_{j=1}^m \alpha_{ij} Y_j$. Montrer que si F est extrémal, il en est de même de $F(s . Y)$ pour toute matrice inversible s. S’il existe un entier $k \geq 0$ tel que $F(s . Y) = (\det(s))^k F(Y)$ pour toute matrice inversible s, F est nécessairement homogène par rapport à chacun des $Y_j$; en outre, si $F = GH$ où G et H sont deux polynômes de $K[Y_1, \ldots, Y_m]$, il existe deux entiers $p$ et $q$ tels que $p + q = k$ et $G(s.Y) = (\det(s))^p G(Y)$, $H(s.Y) = (\det(s))^q H(Y)$ pour toute matrice inversible $s$ (utiliser $a$).

c) Soient $A$ un anneau non réduit à 0 ; on considère l’anneau de polynômes $A[X_{ij}]$, où les $X_{ij}$ sont $n(n+1)/2$ (resp. $2n(2n-1)/2$) indéterminées, avec $1 \leq i \leq j \leq n$ (resp. $1 \leq i < j \leq 2n$); soit $U = (\xi_{ij})$ (resp. $V = (\eta_{ij})$) la matrice carrée d’ordre $n$ (resp. $2n$) sur $A[X_{ij}]$ telle que $\xi_{ij} = X_{ij}$ pour $1 \leq i \leq j \leq n$ et $\xi_{ij} = X_{ji}$ pour $i > j$ (resp. $\eta_{ii} = 0$ pour $1 \leq i \leq 2n$, $\eta_{ij} = X_{ij}$ pour $1 \leq i < j \leq 2n$, $\eta_{ij} = -X_{ji}$ pour $i > j$). Montrer que $\det(U)$ (resp. $\mathrm{Pf}(V)$) est un élément extrémal dans $A[X_{ij}]$ (raisonner comme dans $b$), en considérant $\det(s.U.'s)$ et $\mathrm{Pf}(s.V.'s)$).