Bài tập 2, § 3

(a) Cho $A$ là một miền nguyên, hợp của một họ lọc tăng $(A_\lambda)$ gồm các vành con. Giả sử rằng mỗi $A_\lambda$ là nhân tử hóa và rằng nếu $\lambda \leq \mu$, mọi phần tử cực biên của $A_\lambda$ đều là cực biên trong $A_\mu$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ là một vành nhân tử hóa có tập hợp các phần tử cực biên là hợp của các tập hợp các phần tử cực biên của mỗi $A_\lambda$ (xem § 2, Bài tập 19 e)).

(b) Suy ra từ a) rằng với mọi vành nhân tử hóa $A$, vành đa thức $A[X_\lambda]_{\lambda \in L}$ theo bất kỳ họ các bất định nào là nhân tử hóa.

(c) Cho $A$ là một vành nhân tử hóa sao cho mọi vành chuỗi lũy thừa hình thức $A[[X_1, \ldots, X_n]]$ theo một số hữu hạn bất định là nhân tử hóa. Bây giờ chứng minh rằng mọi vành chuỗi lũy thừa hình thức $A[[X_\lambda]]_{\lambda \in L}$ theo bất kỳ họ bất định nào ($Alg.$, chap. IV, § 5, Bài tập 1) là nhân tử hóa (cùng phương pháp).