Exercice 2, § 3

a) Soit $A$ un anneau intègre, réunion d’une famille filtrante croissante $(A_\lambda)$ de sous-anneaux. On suppose que chacun des $A_\lambda$ est factoriel et que si $\lambda \leq \mu$, tout élément extrémal de $A_\lambda$ est extrémal dans $A_\mu$. Montrer que $A$ est un anneau factoriel dont l’ensemble des éléments extrémaux est la réunion des ensembles d’éléments extrémaux de chacun des $A_\lambda$ (cf. § 2, exerc. 19 e)).

b) Déduire de a) que pour tout anneau factoriel $A$, l’anneau de polynômes $A[X_\lambda]_{\lambda \in L}$ par rapport à une famille quelconque d’indéterminées est factoriel.

c) Soit $A$ un anneau factoriel tel que tout anneau de séries formelles $A[[X_1, \ldots, X_n]]$ par rapport à un nombre fini d’indéterminées soit factoriel. Montrer que tout anneau de séries formelles $A[[X_\lambda]]_{\lambda \in L}$ par rapport à une famille quelconque d’indéterminées ($Alg.$, chap. IV, § 5, exerc. 1) est factoriel (même méthode).