Bài tập 22, § 3

a) Cho $k$ là một trường có thứ tự, $A$ là thương của vành đa thức $k[X, Y, Z]$ theo iđêan chính $(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$; $x, y, z$ biểu thị các ảnh chính tắc của $X, Y, Z$ trong $A$. Bây giờ chứng minh rằng $A$ là vành giai thừa (xét vành phân thức $A_{z-1}$ (ký hiệu của Chương II, § 5, No. 1), và sử dụng No. 4, Mệnh đề 3).

b) Cho $(e_i)_{1 \leq i \leq 3}$ là cơ sở chính tắc của $A^3$, và cho $M$ là thương của $A^3$ theo A-môđun con một sinh $N$ sinh bởi $xe_1 + ye_2 + ze_3$; bây giờ chứng minh rằng $M$ là một A-môđun xạ ảnh (dạng một môđun con bổ sung của $N$ trong $A^3$).

c) Bây giờ chứng minh rằng nếu $k = \mathbf{R}$, A-môđun $M$ không tự do (đồng nhất $M$ với một môđun con của môđun các thiết diện liên tục của không gian bó của các vectơ tiếp tuyến với mặt cầu đơn vị, và sử dụng sự kiện rằng không tồn tại một trường liên tục các vectơ tiếp tuyến $\neq 0$ tại mọi điểm của mặt cầu). \