Exercice 22, § 3

a) Soient $k$ un corps ordonné, $A$ le quotient de l’anneau de polynômes $k[X, Y, Z]$ par l’idéal principal $(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$; on désigne par $x, y, z$ les images canoniques de $X, Y, Z$ dans $A$. Montrer que $A$ est factoriel (considérer l’anneau de fractions $A_{z-1}$ (notation du chap II, § 5, n° 1), et utiliser le n° 4, prop. 3).

b) Soit $(e_i)_{1 \leq i \leq 3}$ la base canonique de $A^3$, et soit $M$ le quotient de $A^3$ par le sous-A-module monogène $N$ engendré par $xe_1 + ye_2 + ze_3$; montrer que $M$ est un A-module projectif (former un sous-module supplémentaire de $N$ dans $A^3$).

c) Montrer que si $k = \mathbf{R}$, le A-module $M$ n’est pas libre (identifier $M$ à un sous-module du module des sections continues de l’espace fibré des vecteurs tangents à la sphère unité, et utiliser le fait qu’il n’existe aucun champ continu de vecteurs tangents $\neq 0$ en tout point de la sphère). \