Bài tập 4, § 3

(a) Chứng minh rằng vành $A = \mathbf{Q}[X, Y]/p$, trong đó $p$ là iđêan chính sinh bởi $X^2 + Y^2 - 1$ trong $\mathbf{Q}[X, Y]$, là một vành Krull không nhân tử (nếu $x$ là ảnh của $X$ trong $A$, chứng minh rằng $x$ là một phần tử cực biên của $A$ nhưng $Ax$ không phải là một iđêan cực đại của $A$).

(b) Chứng minh rằng vành $A \otimes_0 \mathbf{Q}(i)$ là nhân tử (chứng minh rằng vành này đẳng cấu với thương của $\mathbf{Q}(i)[X, Y]$ theo iđêan chính $(XY - 1)$; so sánh với Bài tập 3 b)).