Exercice 4, § 3

a) Montrer que l’anneau $A = \mathbf{Q}[X, Y]/p$, où $p$ est l’idéal principal engendré par $X^2 + Y^2 - 1$ dans $\mathbf{Q}[X, Y]$, est un anneau de Krull non factoriel (si $x$ est l’image de $X$ dans $A$, montrer que $x$ est un élément extrémal de $A$ mais que $Ax$ n’est pas un idéal maximal de $A$).

b) Montrer que l’anneau $A \otimes_0 \mathbf{Q}(i)$ est factoriel (prouver que cet anneau est isomorphe au quotient de $\mathbf{Q}(i)[X, Y]$ par l’idéal principal $(XY - 1)$; comparer à l’exerc. 3 b)).