Bài tập 6, § 3

a) Cho $K$ là một trường đóng đại số có đặc số $\neq 2$. Xác định các iđêan nguyên tố phân bậc của vành

b) Cho $k$ là một trường có thứ tự, $a, b, c$ là các phần tử $> 0$ của $k$ và A là vành $k[X, Y, Z]/(aX^2 + bY^2 + cZ^2)$. Bây giờ chứng minh rằng A là một vành nhân tử hóa duy nhất. (Rút gọn về trường hợp $k$ là một trường có thứ tự cực đại, sử dụng Bài tập 3 b); sau đó chứng minh, sử dụng $a$), rằng mọi iđêan nguyên tố phân bậc chiều cao 1 trong A đều là chính, và áp dụng Bài tập 3 a)). c) Cho $k$ là một trường có thứ tự, $a, b$ là các phần tử $> 0$ của $k$ và B là vành $k[X, Y]/(aX^2 + bY^2 + 1)$. Bây giờ chứng minh rằng B là một vành nhân tử hóa duy nhất (sử dụng b) và Bài tập 17 a) của § 1). d) Bây giờ chứng minh rằng vành $C = \mathbf{Q}[X, Y]/(X^2 + 2Y^2 + 1)$ là nhân tử hóa duy nhất, nhưng vành $C' \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}(i)$ (với $i^2 = -1$) không là nhân tử hóa duy nhất.